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点关于直线对称的点的求法视频（点关于直线对称的点的求法公式）

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点关于直线对称的点的求法视频（点关于直线对称的点的求法公式）

话说很久以前，草原上有一位医术高明的郎中，在河的对岸不远处有一位财大气不粗的财主，郎中过河出诊费异常高昂，大财主却十分吝啬.

一天，大财主得了怪病，管家连忙到河的对岸请郎中，郎中对管家说：我骑马到你家路程数百米远，出诊费按路程计算，每米路程收银1两，你家那位吝啬的财主能答应吗？

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管家答道：我家老爷说了，你骑马到达河边时下马，改为乘坐我家的轿子，你骑马走的路程单价要多少由你说了算，但你骑马的路程要扣掉乘坐我家轿子的路程，然后再乘以你开的单价，怎么样？

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郎中答应，即刻备马启程.

一上马，郎中便在思考这样一个问题：我在河边的什么地方下马才能获得最高的出诊费呢？

如何解决这个问题呢？

假设郎中的家在点A处，财主的家在点B处，中间隔着的小河为直线l，郎中骑马到河边l的点P处下马，那么郎中思考的问题便是如下一道几何作图题：

如图1，已知A、B两点在直线l的两边，在直线l上求作一点P，使PA–PB最大.

点关于直线对称的点的求法视频（点关于直线对称的点的求法公式）

如何解决这个问题呢？首先注意到：如果点A、B在直线l的同一边，则

当点P在AB延长线上总有PA–PB=AB；

当点P不在AB的延长线上时，PA–PB<AB.

可见，PA–PB的最大值为AB.

但是，这里的点A，B位于直线l的两侧，怎么办呢？

通过轴对称变换，把点B变换到直线l的另一侧，使它与点A在直线l的同侧.

因此，可得如下作法：

作点B关于直线的对称点B/，

连接AB/交直线于点P，

则点P就是所求作的点（如图2）.

点关于直线对称的点的求法视频（点关于直线对称的点的求法公式）

点P是否恰好为所求作的点呢？

为了说明这一点，我们只须在直线上任取一个不同于点P的点P/，

连接P/A，P/B，P/B/，PB(如图3)，则

P/B=P/B/，PB=PB/.

点关于直线对称的点的求法视频（点关于直线对称的点的求法公式）

所以P/A–P/B=P/A–P/B/<AB/.

而PA–PB=PA–PB/=AB/，

所以P/A–P/B<PA–PB，

这表明：点P就是使得PA–PB最大的点.

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