点关于直线对称的点的求法视频(点关于直线对称的点的求法公式)

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话说很久以前,草原上有一位医术高明的郎中,在河的对岸不远处有一位财大气不粗的财主,郎中过河出诊费异常高昂,大财主却十分吝啬.

一天,大财主得了怪病,管家连忙到河的对岸请郎中,郎中对管家说:我骑马到你家路程数百米远,出诊费按路程计算,每米路程收银1两,你家那位吝啬的财主能答应吗?

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管家答道:我家老爷说了,你骑马到达河边时下马,改为乘坐我家的轿子,你骑马走的路程单价要多少由你说了算,但你骑马的路程要扣掉乘坐我家轿子的路程,然后再乘以你开的单价,怎么样?

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郎中答应,即刻备马启程.

一上马,郎中便在思考这样一个问题:我在河边的什么地方下马才能获得最高的出诊费呢?

如何解决这个问题呢?

假设郎中的家在点A处,财主的家在点B处,中间隔着的小河为直线l,郎中骑马到河边l的点P处下马,那么郎中思考的问题便是如下一道几何作图题:

如图1,已知AB两点在直线l的两边,在直线l上求作一点P,使PAPB最大.

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如何解决这个问题呢?首先注意到:如果点AB在直线l的同一边,则

当点PAB延长线上总有PAPB=AB

当点P不在AB的延长线上时,PAPB<AB.

可见,PAPB的最大值为AB.

但是,这里的点AB位于直线l的两侧,怎么办呢?

通过轴对称变换,把点B变换到直线l的另一侧,使它与点A在直线l的同侧.

因此,可得如下作法:

作点B关于直线的对称点B/,

连接AB/交直线于点P

则点P就是所求作的点(如图2).

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P是否恰好为所求作的点呢?

为了说明这一点,我们只须在直线上任取一个不同于点P的点P/,

连接P/AP/BP/B/,PB(如图3),则

P/B=P/B/,PB=PB/.

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所以P/AP/B=P/AP/B/<AB/.

PAPB=PAPB/=AB/,

所以P/AP/B<PAPB

这表明:点P就是使得PAPB最大的点.

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